Γεωμετρικοί κύβοι. Τι είναι ένας διαγώνιος κύβος και πώς να το βρείτε

Ή ένα εξάεδρο) είναι μια τρισδιάστατη μορφή, κάθε πρόσωπο είναι ένα τετράγωνο στο οποίο, όπως γνωρίζουμε, όλες οι πλευρές είναι ίσες. Η διαγώνιος του κύβου είναι ένα τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του σχήματος και συνδέει συμμετρικές κορυφές. Σε ένα κανονικό εξάεδρο υπάρχουν 4 διαγώνιοι και όλοι τους θα είναι ίσοι. Είναι πολύ σημαντικό να μην συγχέεται η διαγώνιος της ίδιας της φιγούρας με τη διαγώνιο του προσώπου ή της πλατείας της, που βρίσκεται στη βάση της. Η διαγώνια όψη του κύβου περνάει από το κέντρο του προσώπου και συνδέει τις αντίθετες κορυφές της πλατείας.

Φόρμουλα για την εύρεση της διαγωνίου κύβου

Η διαγώνια ενός κανονικού πολυεδρικού μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα πολύ απλό τύπο που πρέπει να θυμόμαστε. D = a√3, όπου D είναι η διαγώνιος του κύβου, και είναι η άκρη. Δίνουμε ένα παράδειγμα ενός προβλήματος όπου είναι απαραίτητο να βρούμε μια διαγώνιο, αν είναι γνωστό ότι το μήκος της άκρης του είναι 2 εκ. Εδώ όλα είναι μόνο D = 2√3, ακόμα και τίποτα δεν χρειάζεται να ληφθεί υπόψη. Στο δεύτερο παράδειγμα, αφήστε την άκρη του κύβου να είναι √3 cm, τότε παίρνουμε D = √3√3 = √9 = 3. Απάντηση: Το D είναι 3 εκ.

Ο τύπος με τον οποίο μπορείτε να βρείτε τη διαγώνιο του προσώπου κύβου

Διαγόρα Μπορείτε επίσης να βρείτε ένα πρόσωπο από τον τύπο. Οι διαγώνιοι που βρίσκονται στις άκρες είναι μόνο 12 τεμάχια και είναι όλοι ίσοι. Τώρα θυμόμαστε ότι d = a√2, όπου d είναι η διαγώνιος της πλατείας και είναι επίσης η άκρη του κύβου ή της πλευράς της πλατείας. Η κατανόηση από πού προέρχεται αυτός ο τύπος είναι πολύ απλή. Μετά από όλα, οι δύο πλευρές της πλατείας και η διαγώνιος μορφή. Σε αυτό το τρίο, η διαγώνιος παίζει το ρόλο της υποτείνουσας και οι πλευρές της πλατείας είναι τα πόδια που έχουν το ίδιο μήκος. Θυμηθείτε το Πυθαγόρειο θεώρημα και όλα αμέσως θα πέσουν στη θέση του. Τώρα η εργασία: η άκρη του εξάεδρον είναι √ 8 cm, είναι απαραίτητο να βρεθεί η διαγώνιος του προσώπου. Εισάγουμε στον τύπο και παίρνουμε d = √8 √2 = √16 = 4. Απάντηση: Η διαγώνια πλευρά του κύβου είναι 4 cm.

Εάν είναι γνωστή η διαγώνια πλευρά του κύβου

Με την κατάσταση του προβλήματος, δίνεται μόνο η διαγώνια του προσώπου ενός κανονικού πολυεδρικού, που είναι, για παράδειγμα, √ 2 cm, και πρέπει να βρούμε τη διαγώνιο του κύβου. Ο τύπος για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι λίγο πιο περίπλοκος από τον προηγούμενο. Αν γνωρίζουμε d, τότε μπορούμε να βρούμε την άκρη του κύβου, με βάση τη δεύτερη φόρμουλα d = a√2. Παίρνουμε a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (αυτό είναι το άκρο μας). Και αν αυτή η ποσότητα είναι γνωστή, τότε είναι εύκολο να βρείτε τη διαγώνιο κύβου: D = 1√3 = √3. Έτσι λύσαμε το πρόβλημά μας.

Αν είναι γνωστή η επιφάνεια

Ο ακόλουθος αλγόριθμος λύσης βασίζεται στην εύρεση της διαγώνιας, υποθέτοντας ότι είναι ίση με 72 cm 2. Αρχικά, θα βρούμε την περιοχή ενός προσώπου, και υπάρχουν έξι από αυτούς συνολικά. Έτσι, 72 πρέπει να χωριστεί με 6, έχουμε 12 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή ενός προσώπου. Για να βρούμε την άκρη ενός κανονικού πολυεδρικού, είναι απαραίτητο να ανακαλέσουμε τον τύπο S = a 2, που σημαίνει a = √S. Αντικαταστήστε και παίρνουμε a = √12 (άκρο του κύβου). Και αν γνωρίζουμε αυτή την τιμή, τότε η διαγώνια δεν είναι δύσκολο να βρεθεί D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Η απάντηση: η διαγώνιος κύβου είναι 6 cm 2.

Αν είναι γνωστό το μήκος των ακμών του κύβου

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου το πρόβλημα δίνεται μόνο στο μήκος όλων των άκρων του κύβου. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε αυτήν την τιμή με 12. Είναι ο αριθμός των πλευρών στο σωστό πολυερόν. Για παράδειγμα, αν το άθροισμα όλων των άκρων είναι 40, τότε η μία πλευρά θα είναι ίση με 40/12 = 3.333. Εισάγουμε στην πρώτη μας φόρμουλα και πάρουμε την απάντηση!

Στην οποία πρέπει να βρείτε την άκρη του κύβου. Αυτός είναι ο ορισμός του μήκους ενός άκρου κύβου από την περιοχή του προσώπου του κύβου, από τον όγκο του κύβου, από τη διαγώνιο της όψης του κύβου και από τη διαγώνιο του κύβου. Εξετάστε τις τέσσερις επιλογές για τέτοιες εργασίες. (Τα υπόλοιπα καθήκοντα, κατά κανόνα, είναι παραλλαγές των παραπάνω ή καθήκοντα στην τριγωνομετρία, τα οποία σχετίζονται πολύ έμμεσα με το υπό εξέταση θέμα)

Εάν γνωρίζετε την περιοχή του προσώπου του κύβου, τότε βρείτε την άκρη του κύβου είναι πολύ απλή. Δεδομένου ότι το πρόσωπο του κύβου είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά ίση με την άκρη του κύβου, η περιοχή του είναι ίση με το τετράγωνο της άκρης του κύβου. Επομένως, το μήκος της ακμής του κύβου είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της περιοχής του προσώπου του, δηλαδή:

και - το μήκος της άκρης του κύβου,

S είναι η περιοχή του προσώπου κύβου.

Η εύρεση του προσώπου ενός κύβου στον όγκο του είναι ακόμα ευκολότερη. Δεδομένου ότι ο όγκος του κύβου είναι ίσος με τον κύβο (του τρίτου βαθμού) του μήκους της ακμής του κύβου, λαμβάνουμε το μήκος της ακμής του κύβου ίσο με τη ρίζα του κυβικού (τρίτου βαθμού) του όγκου του, δηλαδή:

και - το μήκος της άκρης του κύβου,

V είναι ο όγκος του κύβου.

Η εύρεση του μήκους μιας ακμής κύβου σε γνωστά διαγώνια μήκη είναι λίγο πιο δύσκολη. Σημειώστε από:

και - το μήκος της ακμής του κύβου.

b - το μήκος της διαγωνίου του προσώπου του κύβου.

c - το μήκος της διαγωνίου κύβου.

Όπως φαίνεται από το σχήμα, η διαγώνιος του προσώπου και οι άκρες του κύβου σχηματίζουν ένα ορθογώνιο ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Από εδώ βρίσκουμε:

(για να βρείτε την άκρη του κύβου που πρέπει να εξαγάγετε τετραγωνική ρίζα από το μισό τετράγωνο της διαγώνιας όψης).

Για να βρούμε την άκρη του κύβου κατά μήκος της διαγωνίου του, χρησιμοποιούμε το μοτίβο ξανά. Η διαγώνια του κύβου (c), η διαγώνιος του προσώπου (b) και η άκρη του κύβου (a) σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Έτσι, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Χρησιμοποιούμε την παραπάνω σχέση μεταξύ a και b και αντικαθιστούμε τον τύπο

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Παίρνουμε:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, από το οποίο βρίσκουμε:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, ως εκ τούτου:

Ένας κύβος είναι ορθογώνιος παραλληλεπίπεδο, όλα τα άκρα του οποίου είναι ίσα. Επομένως, ο γενικός τύπος για τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου και ο τύπος για την επιφάνεια του στην περίπτωση ενός κύβου απλοποιούνται. Επίσης, μπορεί να βρεθεί ο όγκος του κύβου και η επιφάνεια του, γνωρίζοντας τον όγκο της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένος σε αυτό ή την μπάλα που περιγράφεται γύρω από αυτό.

Θα χρειαστείτε

• το μήκος της πλευράς του κύβου, την ακτίνα της εγγεγραμμένης και περιγραφείσας σφαίρας

Οδηγία

Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι: V = abc - όπου a, b, c είναι οι διαστάσεις του. Επομένως, ο όγκος του κύβου είναι ίσος με V = a * a * a = a ^ 3, όπου a είναι το μήκος της πλευράς του κύβου.Η επιφάνεια του κύβου είναι ίση με το άθροισμα των επιφανειών όλων των επιφανειών του. Ο κύβος έχει έξι πρόσωπα, οπότε το εμβαδόν του είναι S = 6 * (a ^ 2).

Αφήστε την μπάλα να χωρέσει στον κύβο. Προφανώς, η διάμετρος αυτής της σφαίρας θα είναι ίση με την πλευρά του κύβου . Αντικαθιστώντας το μήκος της διάμετρος στην έκφραση για τον όγκο αντί για το μήκος του άκρου του κύβου και χρησιμοποιώντας ότι η διάμετρος είναι ίση με το διπλάσιο της ακτίνας, παίρνουμε V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), όπου d είναι η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου και r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το εμβαδόν επιφανείας του κύβου θα είναι τότε S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Αφήστε την μπάλα να περιγραφεί γύρω από έναν κύβο . Στη συνέχεια η διάμετρος θα συμπίπτει με τη διαγώνιο του κύβου . Η διαγώνιος του κύβου περνάει από το κέντρο του κύβου και συνδέει τα δύο αντίθετα σημεία.
Σκεφτείτε πρώτα ένα από τα πρόσωπα του κύβου . Οι άκρες αυτής της όψης είναι τα πόδια ενός δεξιού τριγώνου, στο οποίο η διαγώνιος του προσώπου δ θα είναι υποταινού. Στη συνέχεια, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, λαμβάνουμε: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * α.

Στη συνέχεια, εξετάστε το τρίγωνο στο οποίο η υποτείνουσα είναι η διαγώνιος του κύβου , και η διαγώνιος του προσώπου d και μία από τις άκρες του κύβου a είναι τα πόδια του. Ομοίως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 *
Έτσι, σύμφωνα με τον παραγόμενο τύπο, η διαγώνιος του κύβου είναι D = a * sqrt (3). Ως εκ τούτου, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Επομένως, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), όπου R είναι η ακτίνα της περιγραφείσας σφαίρας. * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Συχνά υπάρχουν καθήκοντα στα οποία πρέπει να βρείτε την άκρη ενός κύβου, συχνά αυτό θα πρέπει να γίνει με βάση πληροφορίες σχετικά με τον όγκο, την επιφάνεια της επιφάνειας ή τη διαγώνιο. Υπάρχουν πολλές επιλογές για τον ορισμό ενός άκρου κύβου.

Σε αυτή την περίπτωση, εάν είναι γνωστή η περιοχή του κύβου, τότε η ακμή μπορεί να προσδιοριστεί εύκολα. Το πρόσωπο του κύβου είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά ίση με την άκρη του κύβου. Κατά συνέπεια, η περιοχή είναι ίση με την τετράγωνη άκρη του κύβου. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο: a = √S, όπου a είναι το μήκος της άκρης του κύβου, και S είναι η περιοχή του προσώπου του κύβου. Η εύρεση ενός άκρου κύβου από τον όγκο του είναι μια ακόμη απλούστερη εργασία. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι ο όγκος του κύβου ισούται με τον κύβο (στον τρίτο βαθμό) το μήκος της άκρης του κύβου. Αποδεικνύεται ότι το μήκος της ακμής είναι ίσο με τη ρίζα κύβου του όγκου της. Δηλαδή, παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο: a = √V, όπου a είναι το μήκος της άκρης του κύβου, και V είναι ο όγκος του κύβου.

Διαγώνια, μπορείτε επίσης να βρείτε την άκρη του κύβου. Συνεπώς, χρειαζόμαστε: a - το μήκος της άκρης του κύβου, b - το μήκος της διαγώνιο του προσώπου του κύβου, c - το μήκος της διαγώνιας του κύβου. Από το θεώρημα του Πυθαγορείου, παίρνουμε: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, και από εδώ μπορείτε εύκολα να αντλήσετε τον ακόλουθο τύπο: a = √ (b ^ 2/2), που εξάγει την άκρη του κύβου.

Για άλλη μια φορά, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Pythagorean (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), μπορούμε να πάρουμε την ακόλουθη σχέση: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, ^ 2, επομένως, η άκρη του κύβου μπορεί να ληφθεί ως εξής: α = √ (c ^ 2/3).